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どっかのニッキに数学の話をしましたが、
その続きになります。

「素数に憑かれた人たち」という本に出てくる式を紹介しました。
それは調和級数の無限和とすべての素数を含んだ各項の無限積が等しいという
驚くべき関係式です。

この式はともに無限の場合なので、有限の場合を考えたら
それは調和級数の有限和を考えることが素数を生み出す式を導く突破口となる
可能性があります。

調和級数の有限和が素数を含んだ各項のどこまでの積と等しいかがわかれば
つぎつぎに素数を生み出す式がわかることになるのではと想像しています。

また、素数だけでなく階乗の正確な値もわかることになります。
(スターリンの近似式という有名な式はありますが、正確な値を出す式を知りません)

次の素数が計算できる日が来るということは、いままで支えてきた暗号技術も
終焉を迎えるということになります。

たとえば、素数の２乗の計算は誰でも簡単にできるが、反対にその数の平方根を
計算することはその数の桁が多いければ、多いほど困難となるわけです。
いまの暗号技術はその素数の性質を利用しているのです。

数学オリンピック関連本の巻末に公式一覧がありましたが、
数列の和を求める際に使う式に次のように呼ばれるものがあります。

「望遠鏡和の定理」

たとえば自然数の２乗の和の公式を求めたい場合。
自然数の和はきっとご存知でしょう。
その式の出し方も学校で習った人がいると思います。

1から100まで自然数の和を求める場合はどうでしょう。

1+2+3+4+・・・・・・・・・・・+97+98+99+100

このまま順に計算することはできますが、よりスマート方法でやりましょう。
上の式とは逆の順に並べた式をその下におきます。

1　　+　2　　+　3　　+　4　　+・・・・・・・・・・・+　97　+　98　+　99　+　100
100+　99　+　98　+　97　+　　　　　　　　　+　4　　+　3　　+　2　　+　1　
　　　　
若きガウス少年はあることに気づいたわけです。
それぞれ上下をたすと同じ合計のものが100個分であると。

1　　+　2　　+　3　　+　4　　+・・・・・・・・・・・+　97　+　98　+　99　+　100
100+　99　+　98　+　97　+・・・・・・・・・・・+　4　　+　3　　+　2　　+　1　
------------------------------------------------------------------------------------
101＋101　＋101　＋101　＋・・・・・・・・・・＋101　＋101　＋101　＋101

これは求めたい合計の2倍なので、2で割ったのが求める合計となるわけです。

101×100÷2=5050

これを自然数nまで拡張すれば、一般に知られている公式となります。

n
Σ(ｋ)　=　(1+n)×ｎ÷2
k=1

さて、自然数の和の公式がわかりました。
次の関係式にこの式を当てはめれば、
自然数の２乗の和の公式は覚えていなくても導くことができます。

n　　　　　　　　　　n　　　　m　　n　
Σ(k＾2)　=　(ｎ+1)Σ(ｋ)　-Σ　Σ(ｋ)　
k=1　　　　　　　　k=1　　n=1　k=1

実はこの式も一般化すると次のようになります。
これが「望遠鏡和の定理」と呼ばれるものです。

n　　　　　　　　　　n　　　　　　　　m　　n
Σ(k＾a)　=　(ｎ+1)Σ(ｋ＾（a-1）)　-Σ　Σ(ｋ＾（a-1）)
k=1　　　　　　　　k=1　　　　　　　n=1　k=1


この式を使って、調和級数の有限和も求めてみようと思いましたが、
壁にぶつかってしまいました。
調和級数はΣを使って、次のように示せます。

n
Σ(k＾-1)
k=1

左辺に１の和、Σで書くと次のようになりますが。
(nが99なら、合計は99ということです)

n
Σ(k＾0)　=　1　+　1　+　1　+　・・・・・・＋　1　+　1　+　1　=　n
k=1

を代入して求めようとしましたが、うまくはいかないみたいです。
関係式の右辺に二重のΣがあるのが、ネックになっているのかもしれませんね。