つくもノヲ”Ｘ="1≠ 235

調和級数の無限和と等比級数の無限和の関係を示してみた。

ゼータ関数の特殊値として、-2乗や-4乗などのマイナス偶数乗の
それぞれの無限和は判明している。
ただし、マイナス奇数乗(たとえば-1乗、-3乗など)の無限和に
ついてはよくわかっていない。

特に-1乗の有限和、1+1/2+1/3＋1/4・・・+1/mについては個人的に
解明したい事項だ。

また、この-1乗の有限和は画像に示したように各項が等比級数の
極限値になっている。
たとえば、1/2=1/3＋(1/3)^2＋(1/3)^3＋(1/3)^4・・・。
この-1乗の有限和(無限和)はこれら等比級数の極限値の合計にも
なっている。当たり前と言われればそれまでだが。

無限から有限へ。
無限和は発散することがわかっているこの数列の有限和を求めるのは、
まるで場の量子論で使われている「繰り込み」と似ている。

解明すればリーマン予想で挙げられている
素数の無限積と調和級数の無限和が等式で表されることからも
大げさにいえば、素数の真実にまたより近づくことができると
考えている。