つくもノヲ”Ｘ="1≠ 234

級数和、特に自然数の累乗和について自分なりの再考。
高校ではこのような式ではなく、自然数の2乗和、3乗和の公式をそれぞれ
暗記することを強要される。あくまで試験、受験で使うことを前提に
してためだ。だから高校生の頃、特に疑問を持つ余裕もなく卒業した。

どこかのwebサイトで載せているかもしれない。
数学者ならすでに知っているのだろう。

大学の講義を眠いのを我慢しながら受けていたとき、プリントの裏に
パスカルの三角形のように数字を並べて落書きしていたらたどり着いた。

かなりの前のニッキにもこの式を書いていたが、見づらかったので
画像にして挙げてみた。某掲示板にも書き込みをしてみた。
いろいろと批判はあったが、この式に対する批判をしてくる者は皆無だ。
いろいろと言ってくれるが、決して式の内容に触れようとしない。

もっと昔。
数学の先生が立ち上げているというwebサイトにメールアドレスが
あったので、この式を見てもらった。返事が来た。どうやら上の式が
どんな式であるかをすぐにわかったようだ。さすがだ。
しかしこの式の可能性については把握していなかった。

自然数の2乗和の式がわかれば、3乗和の式が求められる。
3乗和がわかれば4乗和、4乗和がわかれば5乗和・・・と求めたい
累乗和の一つしたの乗数の累乗和の式がわかれば、いくらでも求め
られる。ただし乗数が大きくなるにつれて計算が面倒くさくなるが。



調和数列の部分和が求められるかとこの式をいじってみたが、どうにも
うまくいかない。つまりa=0にしても、あらかじめ判っている必要がある
調和数列の部分和の式が不明なので、どんなに頑張っても求められない。

これが部分和ではなく、無限和なら発散することが明らかにされている。
(簡潔な証明が存在している)

またマイナス2乗、マイナス4乗など無限和はゼータ関数で
その極限値が求められる。

無限なら発散することがわかっている数列の和を有限ならその和の式は
どうすれば求められるか、不可能と思われるこの問題を自分なりに
時間が空いているときに紙と鉛筆を用意して、ちっぽけな脳みそで
考えている。

数学の問題集ではこんな式が出題されていたりするが、
実際の数字を当てはめてこうして並べてみると、調和数列の無限和は
発散するだとなんとなく判るような気がする。
まるで「コッホ曲線」を数字で見てるようだ。この式をうまく計算して
調和数列の和を求めようにも、右辺がすでに調和数列になっている。
大変もどかしい。しかし不思議だ。